Funzioni obiettivo e valutazione

Prima di identificare le possibili soluzioni il gestore delle riunioni esamina le risposte delle agende invitate e costruisce le funzioni obiettivo che permetteranno di valutare la qualità degli intervalli individuati. Tali funzioni vengono utilizzate anche per la selezione di un sottoinsieme delle possibili soluzioni, allo scopo di limitarne il numero (che altrimenti potrebbe essere infinito) ed evitare di considerare soluzioni di scarsa rilevanza.

Per ogni utente $i$ invitato alla riunione vengono costruite, sulla base della risposta ricevuta dal suo UPA, due funzioni, che chiamiamo disponibilità ($d_i(t)$) e preferenza ($p_i(t)$) dell'utente $i$-esimo, dove $t$ rappresenta il tempo.

Definizione 7.2   La funzione di disponibilità $d_i(t)$ dell'$i$-esimo utente assume i seguenti valori

$$d_i(t) = \begin{cases} 1~~~~utente\;non\;impegnato\;al\;tempo\;t\\ 0~~~~utente\;impegnato\;al\;tempo\;t \end{cases}$$

La funzione di preferenza $p_i(t)$ viene costruita a partire dalle preferenze espresse dall'$i$-esimo utente su di una settimana tipo. Esse vengono tradotte in un insieme di valori di preferenza, ovvero valori discreti all'interno di un range predefinito.

Definizione 7.3   La funzione di preferenza $p_i(t)$ assume il valore di preferenza espresso dall'utente $i$-esimo per il giorno della settimana e l'ora in cui ricade l'istante $t$.

A partire dalle funzioni di disponibilità e preferenza degli utenti invitati alla riunione, vengono costruite due funzioni obiettivo: la disponibilità media $d(t)$ e la preferenza media $p(t)$ dei partecipanti alla riunione. La disponibilità media $d(t)$ degli utenti invitati è definita nel seguente modo:

$$d(t) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n{d_i(t)}$$ (1)

mentre $p(t)$ è definita come:

$$p(t) = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n{p_i(t)}$$ (2)

dove $n$ rappresenta il numero di utenti invitati a partecipare alla riunione.

Le possibili soluzioni identificate per soddisfare la richiesta di riunione, costituite da intervalli temporali per la sua collocazione, vengono valutate in base alle funzioni obiettivo che sono state definite. Ad ogni soluzione vengono associati due indici $\alpha$ e $\beta$ ottenuti integrando le funzioni obiettivo all'interno dell'intervallo da valutare. In particolare, data una soluzione $\omega = [t_0,t_1]$, si ha

$$\alpha_{\omega} = \frac{1}{t_1 - t_0}\int_{t_0}^{t_1}d(t)\delta t$$ (3)

$$\beta_{\omega} = \frac{1}{t_1 - t_0}\int_{t_0}^{t_1}p(t)\delta t$$ (4)

dove la normalizzazione viene effettuata per rendere confrontabili intervalli di diversa durata.¹

Le soluzioni individuate vengono quindi ordinate sulla base degli indici $\alpha$ e $\beta$ e della loro durata. Il criterio di ordinamento tra due intervalli $\omega_1 = [t_0,t_1]$ e $\omega_2 = [t_2,t_3]$ è il seguente:

$$\begin{aligned}\omega_1 \prec \omega_2 \end{aligned} \begin{cas... ...e \beta_1 = \beta_2 \wedge D_1 = D_2 \wedge t_0 < t_2 \end{cases}$$

dove con $D_1$ e $D_2$ sono state indicate rispettivamente la durata dell'intervallo $\omega_1$ e quella di $\omega_2$. Si procede confrontando ordinatamente $\alpha$, $\beta$ ed infine la durata delle soluzioni in esame. Nel caso in cui questi parametri risultino tutti coincidenti si rispetta l'ordinamento temporale definito dall'istante iniziale di ogni soluzione.